Question

已知對(duì)?n∈Z⁺，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

a1-an+1

1-g

（g為常實(shí)數(shù)．g≠0，且g≠1），當(dāng)k=2時(shí)，證明：S_k，S₉，S₆不能成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_n+2=g•a_n+1 n為正整數(shù)  從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比數(shù)列，假設(shè) S_k，S₉，S₆成等差數(shù)列，則 2-g²-g⁶=2×（1-g⁹），令f（g）=2g⁷-g⁴-1，由f（g）取不到0．知假設(shè)不成立，故S_k，S₉，S₆不能成等差數(shù)列．

解答： 證明：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

a1-an+1

1-g

（g為常實(shí)數(shù)．g≠0，且g≠1），
S_n+1-S_n=a_n+1=

-an+2-(-an+1)

1-g

，
得：a_n+2=g•a_n+1 n為正整數(shù)，從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比數(shù)列
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=

a1-a2

1-g

，a₂=g•a₁，
故整個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列S_n=a₁•

1-gn

1-g

，
當(dāng)k=2時(shí)，S₂+S₆=a₁•

1-g2+1-g6

1-g

=a1•

2-g2-g6

1-g

，
S₉=a₁•

1-g9

1-g

，
假設(shè) S_k，S₉，S₆成等差數(shù)列，則 2-g²-g⁶=2×（1-g⁹），
又g≠0 則2g⁷-g⁴-1=0，
令f（g）=2g⁷-g⁴-1 則f′（g）=14g⁶-4g³，求得極值點(diǎn)為g=0，
f（g）在（

3	2 7

，+∞）為單調(diào)遞增，
在g=1時(shí)取到零點(diǎn)，又知g≠1，故f（g）取不到0．
所以假設(shè)不成立，
故S_k，S₉，S₆不能成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列中S_k，S₉，S₆不能成等差數(shù)列的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．