Question

已知命題p：在x∈[1，2]時，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命題q：函數(shù)f（x）=x³+ax在[1，+∞）上是增函數(shù)．若命題“p∨q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：導數(shù)的綜合應用,簡易邏輯

分析：根據(jù)函數(shù)導數(shù)的符號和函數(shù)單調(diào)性的關系，以及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，即可求出命題p，q下的a的取值范圍，由p∨q為真知道p為真或q為真，從而求出在這兩種情況下a的并集即得a的取值范圍．

解答： 解：命題p：由x²+ax-2＞0得a＞

2-x2

x

；
令f（x）=

2-x2

x

，則f′（x）=

-x2-2

x2

＜0，所以函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
∴

2-x2

x

的最大值為f（1）=1，∴a＞1；
命題q：∵函數(shù)f（x）=x³+ax在[1，+∞）上是增函數(shù)；
∴f′（x）=3x²+a≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥-3x²，-3x²在[1，+∞）上的最大值為-3，∴a≥-3；
∵p∨q是真命題，∴p真，或q真；
∴a＞1，或a≥-3，∴a≥-3；
∴實數(shù)a的取值范圍是[-3，+∞）．

點評：考查函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，p∨q的真假和p，q真假的關系．