Question

橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上有不關(guān)于x軸對稱的兩點P，Q，橢圓焦點為F₁，F(xiàn)₂，O為原點，N為PQ中點，若k_OP•k_OQ=-

1

2

，則kNF1•kNF2的值為（　�。�

• A、-

  1

  2

• B、

  1

  2

• C、-2
• D、不確定

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

．利用k_OP•k_OQ=-

1

2

，可得

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，進(jìn)而表示出kNF1•kNF2，化簡可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

．
∵橢圓

x2

4

+

y2

2

=1，
∴F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），
∵k_OP•k_OQ=-

1

2

，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，
∴y₁y₂=-

1

2

x₁x₂，
∵

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
∴y12+y22=4-

x12+x22

2

，
∴kNF1•kNF2=

y

x+ 2

•

y

x- 2

=

y2

x2-2

=

(y12+y2)2

(x1+x2)2-8

=

4- x12+x22 2 -x1x2

(x1+x2)2-8

=-

1

2

．
故選：A．

點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查斜率的計算，考查學(xué)生的計算能力，正確計算斜率是關(guān)鍵．