Question

（1）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長為2

3

．求雙曲線C的方程．
（2）設(shè)拋物線y²=mx（m≠0）的準(zhǔn)線與直線x=-1的距離為2，求拋物線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長為2

3

，可得c=2，a=

3

，焦點(diǎn)在x軸上，求出b，即可求雙曲線C的方程．
（2）根據(jù)拋物線y²=mx寫出它的準(zhǔn)線方程x=-

m

4

，再根據(jù)準(zhǔn)線與直線x=-1的距離為2，對m的正負(fù)進(jìn)行討論，即可求得m的值，進(jìn)而求得拋物線的方程．

解答： 解：（1）∵中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長為2

3

，
∴c=2，a=

3

，焦點(diǎn)在x軸上，
∴b=

c2-a2

=1，
∴雙曲線C的方程為

x2

3

-y²=1．
（2）當(dāng)m＞0時，準(zhǔn)線方程為x=-

m

4

=-3，∴m=12．此時拋物線方程為y²=12x．
當(dāng)m＜0時，準(zhǔn)線方程為x=-

m

4

=1，∴m=-4．此時拋物線方程為y²=-4x．
綜上，所求的拋物線方程為y²=12x或y²=-4x．

點(diǎn)評：此題是個中檔題．考查雙曲線、拋物線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，特別是解析幾何，一定注意對幾何圖形的研究，以便簡化計(jì)算．