【題目】已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一個極值點.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點,求b的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)因為 所以
因此a=16
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x∈(﹣1,+∞)
當(dāng)x∈(﹣1,1)∪(3,+∞)時,f′(x)>0
當(dāng)x∈(1,3)時,f′(x)<0
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(﹣1,1),(3,+∞)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,3)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)內(nèi)單調(diào)增加,
在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少,在(3,+∞)上單調(diào)增加,且當(dāng)x=1或x=3時,f′(x)=0
所以f(x)的極大值為f(1)=16ln2﹣9,極小值為f(3)=32ln2﹣21
因此f(16)>162﹣10×16>16ln2﹣9=f(1)f(e﹣2﹣1)<﹣32+11=﹣21<f(3)
所以在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(﹣1,1),(1,3),(3,+∞)直線y=b有y=f(x)的圖象各有一個交點,當(dāng)且僅當(dāng)f(3)<b<f(1)
因此,b的取值范圍為(32ln2﹣21,16ln2﹣9)
【解析】(Ⅰ)先求導(dǎo) ,再由x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一個極值點即 求解.(Ⅱ)由(Ⅰ)確定f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x∈(﹣1,+∞)再由f′(x)>0和f′(x)<0求得單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)內(nèi)單調(diào)增加,在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少,在(3,+∞)上單調(diào)增加,且當(dāng)x=1或x=3時,f′(x)=0,可得f(x)的極大值為f(1),極小值為f(3)一,再由直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點則須有f(3)<b<f(1)求解,因此,b的取值范圍為(32ln2﹣21,16ln2﹣9).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點到定點和的距離之和為.
(1)求動點軌跡的方程;
(2)設(shè),過點作直線,交橢圓于不同于的兩點,直線, 的斜率分別為, ,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中a∈R.
(1)根據(jù)a的不同取值,討論f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)已知a>0,函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f﹣1(x),若函數(shù)y=f(x)+f﹣1(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為1+log23,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的公差d≠0滿足成等比數(shù)列,若=1,Sn是{}的前n項和,則的最小值為________.
【答案】4
【解析】
成等比數(shù)列,=1,可得:= ,即(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分離常數(shù)法化簡后,利用基本不等式求出式子的最小值.
∵成等比數(shù)列,a1=1,
∴= ,
∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
Sn=n+×2=n2.
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=時取等號,此時n=2,且取到最小值4,
故答案為:4.
【點睛】
本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式,等比中項的性質(zhì),基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,
(1)求的通項公式;
(2)設(shè)是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)當(dāng)n∈N+,求f(n)的表達式;
(2)設(shè)an=nf(n),n∈N+,求證:a1+a2+…+an<2.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)利用f(x+y)=f(x)f(y)(x,y∈R)通過令x=n,y=1,說明{f(n)}是以f(1)=為首項,公比為的等比數(shù)列求出;(2)利用(1)求出an=nf(n)的表達式,利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和,即可說明不等式成立.
(1)解:f(n)=f[(n-1)+1]
=f(n-1)·f(1)=f(n-1).
∴當(dāng)n≥2時,=.
又f(1)=,
∴數(shù)列{f(n)}是首項為,公比為的等比數(shù)列,
∴f(n)=f(1)·()n-1=()n.
(2)證明:由(1)可知,
an=n·()n=n·,
設(shè)Sn=a1+a2+…+an,
則Sn=+2×+3×+…+(n-1)·+n·,①
∴Sn=+2×+…+(n-2)·+(n-1)·+n·.②
①-②得,
Sn=+++…+-n·
=-=1--,
∴Sn=2--<2.
即a1+a2+…+an<2.
【點睛】
本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,數(shù)列通項公式的求法和的求法,考查不等式的證明,裂項法與錯位相減法的應(yīng)用,數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=a (a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N+.
(1)設(shè)bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)若an+1≥an,n∈N+,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的廣告費用支出與銷售額之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù):
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)畫出散點圖;并說明銷售額y與廣告費用支出x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)?
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求回歸直線方程;
(3)據(jù)此估計廣告費用為10時,銷售收入的值.
(參考公式:,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC是邊長為4的正三角形,點P1 , P2 , P3 , 四等分線段BC(如圖所示)
(1)P為邊BC上一動點,求 的取值范圍?
(2)Q為線段AP1上一點,若 =m + ,求實數(shù)m的值.
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