Question

【題目】如圖，橢圓C： (a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB被直線(xiàn)OP平分．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求ABP的面積取最大時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 直線(xiàn)l的方程為 .

【解析】試題分析：

(1)由題意可得．則所求橢圓C的方程為： ．

(2)首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)而不求可得直線(xiàn)AB的斜率為，然后聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，結(jié)合面積函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究三角形面積的最大值可得ABP的面積取最大時(shí)直線(xiàn)l的方程是 .

試題解析：

(1)由題意可得： ①；

左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為： ②．

由①②可解得： ．

∴所求橢圓C的方程為： ．

(2)易得直線(xiàn)OP的方程： ，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．

其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，

∴．

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為 (m≠0)，代入橢圓： ，

整理得： ．

顯然．

∴﹣且m≠0．由上又有： ， ．

∴AB＝||＝ ＝ ．

∵點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離表示為： ．

∴SABP＝ ＝ ，

令，

則，

﹣且m≠0， ，令則，

解得，（ ），

當(dāng)時(shí)， 遞增，

當(dāng)時(shí)， 遞減，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ABP的面積取最大，

此時(shí)，直線(xiàn)l的方程為 ．