【題目】命題p:關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,命題q:已知二次函數(shù)f(x)=x2﹣mx+2滿足 ,且當(dāng)x∈[0,a]時(shí),最大值是2,若命題“p且q”為假,“p或q”為真,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】解:對(duì)于命題p:∵關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,
∴△=﹣3a2﹣2a+1≤0,解得 ,
由已知得二次函數(shù)f(x)=x2﹣mx+2的對(duì)稱軸為 ,
即 ,∴m=3,f(x)=x2﹣3x+2,
當(dāng)x∈[0,a]時(shí),最大值是2,由對(duì)稱性知q:0<a≤3.
由命題“p且q”為假,“p或q”為真,可知:p,q恰一真一假.
當(dāng)p真q假時(shí), ,∴a≤﹣1或a>3,
當(dāng)p假q真時(shí), ,∴ ,
綜上可得,
【解析】對(duì)于命題p:由關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,可得△≤0,解得p的取值范圍.由已知得二次函數(shù)f(x)=x2﹣mx+2的對(duì)稱軸為 ,可得m,可得f(x)=x2﹣3x+2,當(dāng)x∈[0,a]時(shí),最大值是2,由對(duì)稱性知a的取值范圍.由命題“p且q”為假,“p或q”為真,可知:p,q恰一真一假.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解復(fù)合命題的真假(“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反;“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真,其他情況時(shí)為假;“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假,其他情況時(shí)為真).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓C: (a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某投資公司現(xiàn)提供兩種一年期投資理財(cái)方案,一年后投資盈虧的情況如下表:
投資股市 | 獲利 | 不賠不賺 | 虧損 | 購(gòu)買基金 | 獲利 | 不賠不賺 | 虧損 | |
概率 |
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| 概率 |
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(Ⅰ)甲、乙兩人在投資顧問的建議下分別選擇“投資股市”和“買基金”,若一年后他們中至少有一人盈利的概率大于,求的取值范圍;
(Ⅱ)若,某人現(xiàn)有萬元資金,決定在“投資股市”和“購(gòu)買基金”這兩種方案中選擇出一種,那么選擇何種方案可使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望值較大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(﹣x)+f(x)=0,f(x+4)=f(x)滿足,且x∈(﹣2,0)時(shí),f(x)=2x+ ,則f(log220)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中, 已知定圓,動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切,記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)是曲線上兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 (異于點(diǎn)),若直線分別交軸于點(diǎn),證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向(北偏東)移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心不超過300千米的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域.城市B在A地的正東400千米處.請(qǐng)建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,解決以下問題:
(1) 求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線方程;
(2)求城市B處于危險(xiǎn)區(qū)域的時(shí)間是多少小時(shí)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:sinθ=ρcos2θ,過點(diǎn)M(﹣1,2)的直線l: (t為參數(shù))與曲線C相交于A、B兩點(diǎn).求:
(1)線段AB的長(zhǎng)度;
(2)點(diǎn)M(﹣1,2)到A、B兩點(diǎn)的距離之積.
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