Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，PD⊥底面ABCD，平面PBC⊥平面PBD．
（1）求證：CD=2；
（2）求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）作DE⊥PB于E，由平面PBC⊥平面PBD，得DE⊥BC，進(jìn)而可得BC⊥BD．由AB=AD=1，AB∥CD，知∠CDB=∠DBA=45°，即可得到結(jié)論；
（2）延長DA，CB交于G，連接PG，作DH⊥PG于H，連接CH，則可得∠CHD是側(cè)面PAD與側(cè)面PBC所成二面角的平面角，由此能求出側(cè)面PAD與側(cè)面PBC所成銳二面角的大小．

解答：（1）證明：作DE⊥PB于E，
∵平面PBC⊥平面PBD，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥BC．
∵PD⊥BC，PD∩DE=D，∴BC⊥平面PBD，∴BC⊥BD．
∵AB=AD=1，AB∥CD，
∴∠CDB=∠DBA=45°，∴BC=BD=

2

，
∵BC⊥BD，∴CD=2；
（2）解：∵PD⊥底面ABCD，∴CD⊥PD
∵CD⊥AD，AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD
延長DA，CB交于G，連接PG，則PG是所求二面角的棱．
作DH⊥PG于H，連接CH，根據(jù)三垂線定理，CH⊥PG，
∴∠CHD是側(cè)面PAD與側(cè)面PBC所成二面角的平面角，
∵PD=1，GD=2，∴DH=

2

5

，
∵CD=2，∴tan∠CHD=

5

，
∴側(cè)面PAD與側(cè)面PBC所成銳二面角的大小為arctan

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出面面角是關(guān)鍵．