【題目】已知橢圓C： （）的離心率為 ，，，，的面積為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）斜率為2的直線與橢圓交于、兩點，求直線的方程；

（3）在軸上是否存在一點，使得過點的任一直線與橢圓若有兩個交點、則都有為定值？若存在，求出點的坐標及相應(yīng)的定值.

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）利用離心率和三角形的面積列方程，由此解得的值，進而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，根據(jù)，斜率乘積為建立方程，解方程求得直線的方程.（3）設(shè)出過點的直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓的方程，消去，化簡后寫出韋達定理，代入計算，根據(jù)為定值，求得點的坐標以及相應(yīng)的定值.

（1）由已知，，又，解得，

∴橢圓的方程為。

（2）設(shè)直線的方程為，則由可得，

即

∵∴

∴直線的方程為即。

（3）設(shè)、、，當直線不為軸時的方程為，

聯(lián)立橢圓方程得：

∴當且僅當即時（定值）

即在軸上存在點使得為定值5

點E的坐標為或。經(jīng)檢驗，

當直線為軸時上面求出的點也符合題意。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線的上點 對應(yīng)的參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，直線的參數(shù)方程為

（1）說明曲線是哪種曲線，并將曲線轉(zhuǎn)化為極坐標方程；

（2）求曲線上的點到直線的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定圓,動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）設(shè)點在上運動,與關(guān)于原點對稱，且,當的面積最小時, 求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f(x)對任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)<1.

（1）試判斷f(x)在R上的單調(diào)性，并加以證明；

（2）若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2

（3）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，點，直線.

（1）求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標.

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)所求直線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程，解方程可得，則所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點，由題意可得，則，然后證明為常數(shù)為即可.

方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，據(jù)此得到關(guān)于的方程組，求解方程組可得存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

試題解析：

（1）設(shè)所求直線方程為，即，

∵直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點，

當為圓與軸左交點時，；

當為圓與軸右交點時，，

依題意，，解得，（舍去），或.

下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).

設(shè)，則，

∴ ，

從而為常數(shù).

方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，

∴，將代入得，

，即

對恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，其中為常數(shù).

（1）當時，求的最大值，并推斷方程是否有實數(shù)解；

（2）若在區(qū)間上的最大值為-3，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，且．

（1）求的通項公式；

（2）若，，成等差數(shù)列，求證：，，成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1， 圓心在上.

（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；

（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點（點均在第一象限），且直線的斜率成等比數(shù)列，證明：直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記，當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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