Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，且．

（1）求的通項公式；

（2）若，，成等差數(shù)列，求證：，，成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）an＝qn－1；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、等差中項等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的分析問題解決問題的能力、運算求解能力. 第一問，當時，代入到已知等式中可直接求出的值，當時，利用，得到與的關(guān)系，從而得出數(shù)列為等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項公式；第二問，利用等比數(shù)列的前n項和公式，利用等差中項列出等式，通過約分，化簡，得到a3＋a6＝2a9，再同時除以q，即得到結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）當n＝1時，由(1－q)S1＋q＝1，

當n≥2時，由(1－q)Sn＋qn＝1，得(1－q)Sn－1＋qn－1＝1，兩式相減得

(1－q)an＋qn－qn－1＝0，

因為q(q－1)≠0，得an＝qn－1，當n＝1時，a1＝1．

綜上an＝qn－1． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以{an}是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列．

所以，又S3＋S6＝2S9，得，

化簡得a3＋a6＝2a9，兩邊同除以q得a2＋a5＝2a8．

故a2，a8，a5成等差數(shù)列． 12分