Question

（本小題滿(mǎn)分14分）有人玩擲正四面體骰子走跳棋的游戲，已知正四面體骰子四個(gè)面上分別印有，棋盤(pán)上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次骰子，若擲出后骰子為面，棋子向前跳2站，若擲出后骰子為中的一面，則棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或第100站（失敗大本營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為（）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

解：（1）依題意，得.………………………………………2分
……………………………………………………4分
（Ⅱ）設(shè)棋子跳到第n站（2≤n≤99）有兩種可能：第一種，棋子先到第站，又?jǐn)S出后得到A面，其概率為；第二種，棋子先到第站，又?jǐn)S出后得到中的一面，其概率為，由于以上兩種可能是互斥的，所以，
即有.………………………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
于是有.
把以上各式相加，得　.
因此，獲勝的概率為．………………………………………………14分

略