Question

19．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（3，0），直線(xiàn)x-y-1=0與雙曲線(xiàn)右支相交于點(diǎn)P，則當(dāng)雙曲線(xiàn)離心率最小時(shí)的雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 由題意，$\frac{a}$≥1，可得e=$\frac{c}{a}$≥$\sqrt{2}$，即可求出當(dāng)雙曲線(xiàn)離心率最小時(shí)，a=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，可得b，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，c=3，即有a²+b²=9，
當(dāng)雙曲線(xiàn)離心率最小時(shí)，直線(xiàn)y=x-1與雙曲線(xiàn)相切，
聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)的方程，可得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0，
可得△=4a⁴+4（b²-a²）（a²+a²b²）=0，化為a²-b²=1，
解得a²=5，b²=4，
∴雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)與方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出a，b是關(guān)鍵．