Question

已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB．
（1）求AB中點的軌跡方程；
（2）求證：AB經(jīng)過一定點，并求出定點坐標；
（3）作OD⊥AB交AB于點D，求點D的軌跡方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出AO的方程代入拋物線求得x的值，進而表示出A的坐標，同理可表示出B的坐標，進而可表示出x₀和y₀，消去k即可求得二者的關(guān)系式，進而求得AB中點的軌跡方程；
（2）若OA⊥OB時，設(shè)直線AB：x=my+n，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，可得結(jié)論．
（3）直接設(shè)出直線AB的方程：y=kx+b，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及條件OA⊥OB可推出b與k的聯(lián)系，再由OD⊥AB得k=-

x

y

代入直線方程即可．

解答： （1）解：設(shè)OA：y=kx，AB中點（x，y），代入y²=2px得x=0，x=

2p

k2

，
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），同理以-

1

k

代k得B（2pk²，-2pk）
∴x=p（k2+

1

k2

），y=p（

1

k

-k），消去k求得中點軌跡方程為y²=px-2p²．
（2）證明：若OA⊥OB時，設(shè)直線AB：x=my+n．
代入拋物線方程可得y²-2pmy-2pn=0
∴x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直線AB：x=my+2p過定點（2p，0）．
（3）解：設(shè)D（x，y），直線AB方程為y=kx+b，
由OD⊥AB得k=-

x

y

．
由y²=2px及y=kx+b消去y，得
k²x²+x（2kb-2p）+b²=0．
所以x₁x₂=

b2

k2

．消去x，得ky²-2py+2pb=0．所以y₁y₂=

2pb

k

．
由OA⊥OB，
得y₁y₂=-x₁x₂，所以

2pb

k

=-

b2

k2

，b=-2kp．
故y=kx+b=k（x-2p）．
用k=-

x

y

代入，得x²+y²-2px=0（x≠0）．
∴點D的軌跡是以（p，0）為圓心，以p為半徑的圓，去掉坐標原點．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．