Question

已知直線l₁為曲線y=x²+x-2在點（0，-2）處的切線，l₂為該曲線的另一條切線，且l₁⊥l₂
（Ⅰ）求直線l₂的方程；
（Ⅱ）求由直線l₁、l₂和x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據導數(shù)的幾何意義以及直線垂直的關系即可求直線l₂的方程；
（Ⅱ）根據三角形的面積公式即可求由直線l₁、l₂和x軸所圍成的三角形的面積．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=2x+1，
則在點（0，-2）處的切線斜率k=f′（0）=1，
∴l(xiāng)₁：x-y-2=0，
∵l₁⊥l₂，
∴直線l₂的斜率k=-1；
由f′（x）=2x+1=-1，即2x=-2，
解得x=-1，此時y=-2，直線l₂的切點為（-1，-2），
則直線l₂的方程為y+2=-（x+1），即x+y+3=0．
（Ⅱ）∵l₁：x-y-2=0，l₂：x+y+3=0，
∴

x-y-2=0 x+y+3=0

，解得

x=- 1 2 y=- 5 2

，
即C（-

1

2

，-

5

2

），
又A（-3，0），B（2，0），
則由直線l₁、l₂和x軸所圍成的三角形的面積S=

1

2

×5×

5

2

=

25

4

．

點評：本題主要考查函數(shù)切線的求解以及直線垂直的關系，利用導數(shù)的幾何意義是解決本題的關鍵．