【題目】已知橢圓: ()的離心率為， ， 分別是它的左、右焦點(diǎn)，且存在直線，使， 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好是圓： （， ）的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，射線、與橢圓分別相交于、．試探究：是否存在數(shù)集，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，總存在，使點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出數(shù)集；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）存在數(shù)集.

【解析】試題分析：（1）由圓的方程配方得半徑為2，由題設(shè)知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，又，可得橢圓方程.

（2）由題可得直線是線段的垂直平分線，由方程與，聯(lián)立可得：

， .又點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)即,

試題解析：（1）將圓的方程配方得： ，所以其圓心為，半徑為2，由題設(shè)知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，

又，所以，從而，故橢圓的方程為.

（2）因?yàn)?/span>產(chǎn)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以直線是線段的垂直平分線（是坐標(biāo)原點(diǎn)），故方程為，與，聯(lián)立得： ，由其判別式得①.

設(shè)， ，則， ，

從而， .

因?yàn)?/span>的坐標(biāo)為，

所以， ，

注意到與同向， 與同向，所以

點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，所以

即

代入整理得②

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，總存在，使②成立.

又當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理知方程的兩根均為正數(shù)，故使②成立的，從而滿足①.

故存在數(shù)集，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，總存在使點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi).

點(diǎn)晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法. 涉及點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi),坐標(biāo)化求解即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱臺(tái)ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.

(1)求證：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為常數(shù)，對(duì)任意,均有恒成立.下列說(shuō)法：

①的周期為；

②若為常數(shù)）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則；

③若且，則必有；

④已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意均有成立，且當(dāng)時(shí)， ；又函數(shù)為常數(shù)），若存在使得成立，則的取值范圍是.其中說(shuō)法正確的是____.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在三棱錐S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，則點(diǎn)A到平面SBC的距離為(　　)

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，AB＝，BC＝1，E，F分別是AB，PC的中點(diǎn)，DE⊥PA.

(1)求證：EF∥平面PAD；

(2)求證：平面PAC⊥平面PDE.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；

（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.

（1）若{an}是遞增數(shù)列，且a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，求p的值；

（2）若p＝，且{a2n－1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(2016·沈陽(yáng)期中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動(dòng)(如圖所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是______________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已經(jīng)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，設(shè)

（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)

（2）求證

（3）若不等式（為正整數(shù)）對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，求的最大值.（解答過(guò)程可參考使用以下數(shù)據(jù)）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案