Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），則雙曲線的焦距為（　�。�

• A． $6\sqrt{5}$
• B． $3\sqrt{5}$
• C． $6\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點(diǎn)（-1，-2）在拋物線的準(zhǔn)線上，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可得p=2，進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)題意，可得雙曲線的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得a的值，由點(diǎn)（-1，-2）在雙曲線的漸近線上，可得漸近線方程，進(jìn)而可得b的值，由雙曲線的性質(zhì)，可得c的值，進(jìn)而可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），
即點(diǎn)（-1，-2）在拋物線的準(zhǔn)線上，則p=2，
則拋物線的焦點(diǎn)為（1，0）；
則雙曲線的左頂點(diǎn)為（-3，0），即a=3；
點(diǎn)（-1，-2）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=±2x，
由雙曲線的性質(zhì)，可得b=6；
則c=$\sqrt{9+36}$=3$\sqrt{5}$，則焦距為2c=6$\sqrt{5}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線與拋物線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）”這一條件的運(yùn)用，另外注意題目中要求的焦距即2c，容易只計(jì)算到c，就得到結(jié)論．