Question

13．從極點(diǎn)O作直線與另一直線ρcosθ=4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使得|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=12，則點(diǎn)P軌跡方程是x²+y²-3x=0．

Answer 1

分析 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，先將直線方程ρcosθ=4化為x=4，設(shè)P（x，y），欲求這條曲線的方程，只須求出x，y之間的關(guān)系即可，利用向量條件，將此條件用坐標(biāo)代入化簡即得曲線的方程．

解答 解：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
將直線方程ρcosθ=4化為x=4，
設(shè)P（x，y），M（4，y₀），|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=（x，y）•（4，y₀）=12，
可得4x+yy₀=12，
又MPO三點(diǎn)共線，xy₀=4y，x²+y²-3x=0
故答案為：x²+y²-3x=0．

點(diǎn)評 本小題主要考查直接法求軌跡方程、簡單曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程．