Question

1．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為橢圓上異于橢圓左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且B與A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AF交橢圓于另外一點(diǎn)C，直線(xiàn)BF交橢圓于另外一點(diǎn)D，則直線(xiàn)AD與BC的交點(diǎn)M的軌跡方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．

Answer 1

分析 利用設(shè)而不求的思想，設(shè)出A，B的坐標(biāo)沒(méi)求出直線(xiàn)DA，DB的斜率即可得到結(jié)論

解答 解：如圖，
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，F(xiàn)（c，0），
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∴k_BD=k_BF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+c}$，
∵k_BD•k_AD=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k_AD=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+c}{{y}_{1}}$
∴直線(xiàn)AD的方程為y-y₁=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+c}{{y}_{1}}$（x-x₁）①
同理，直線(xiàn)BC的方程為y+y₁=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}-c}{{y}_{1}}$（x+x₁）②
由②-①整理得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$
∴直線(xiàn)AD與BC的交點(diǎn)M在定直線(xiàn)x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上．  
故答案為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程以及直線(xiàn)和橢圓方程的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用設(shè)而不求的思想以以及點(diǎn)差法是解決本題的關(guān)鍵．