Question

為了調(diào)查某廠數(shù)萬名工人獨(dú)立生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了m位工人某天獨(dú)立生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），頻率分布直方圖如圖所示，已知獨(dú)立生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量在[20，25）之間的工人有6位．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）工廠規(guī)定：若獨(dú)立生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量當(dāng)日不小于25，則該工人當(dāng)選“生產(chǎn)之星”，若將這天獨(dú)立生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的頻率視為概率，隨機(jī)從全廠工人中抽取3人，這3人中當(dāng)日“生產(chǎn)之星”人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品數(shù)量在[20，25）之間的頻率為0.3，繼而求出m的值，
（Ⅱ）X的取值為0，1，2，3，由題知X～B（3，

2

5

），求出相應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品數(shù)量在[20，25）之間的頻率為0.3，
所以

6

m

=0.3即m=20                                   
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品數(shù)量不小于25的頻率為0.4，
所以三人中每人是“生產(chǎn)之星”的概率都是

2

5

，
X的取值為0，1，2，3，由題知X～B（3，

2

5

），
P（X=0）=(

3

5

)3=

27

125

，P（X=1）=

C

1 3

×

2

5

×(

3

5

)2=

54

125

，
P（X=2）=

C

2 3

×(

2

5

)2×

3

5

=

36

125

，P（X=3）=(

2

5

)3=

8

125

所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

所以E（X）=0×

27

125

+1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

．

點(diǎn)評：本題考查頻率分布直方圖以及二項(xiàng)分布，離散型隨機(jī)變量的分布列數(shù)學(xué)期望、考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力．