Question

9．在四棱錐P-ABCD中：ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a．
（1）求二面角P-CD-A的大��；
（2）求四棱錐P-ABCD的全面積；
（3）求C點到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）找出二面角P-CD-A的平面角并求出大小；
（2）計算四棱錐P-ABCD各個面的面積再求和；
（3）利用等體積法即可求出C點到平面PBD的距離．

解答 解：（1）因為ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD；
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
所以PD⊥CD，AD⊥CD，
所以∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，
又PA=AD=a，所以∠PDA=45°，
即二面角P-CD-A的大小為45°；
（2）由（1）得，CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD，△PCD是直角三角形；
因為PA=AB=a，所以S_△PCD=$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²；
同理CB⊥PB，即S_△BCP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²；
因為PA⊥面ABCD，底面ABCD為正方形，
所以S_△ABP=S_△ADP=$\frac{1}{2}$•a•a=$\frac{1}{2}$a²，
S_底面ABCD=a²；
所以四棱錐P-ABCD的全面積為
S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²+$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$a²+a²=（$\sqrt{2}$+2）a²；
（3）設(shè)C點到平面PBD的距離為h，
則△PBC是邊長為$\sqrt{2}$a的正三角形，其面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$•${（\sqrt{2}a）}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²；
所以三棱錐P-BDC的體積是
V_{三棱錐P-BDC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²×a=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²•h，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
即C點到平面PBD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

點評 本題考查了三棱錐中線面角以及面面角的求法以及點到平面距離的計算問題，考查了空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．