Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，x＞1\\-2x+a，x≤1\end{array}$在R上滿足：對(duì)任意x₁≠x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，-2]
• C． [2，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 由題意，對(duì)任意x₁，x₂∈R，當(dāng)x₁≠x₂，都有f（x₁）≠f（x₂）成立，則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，x＞1\\-2x+a，x≤1\end{array}$是R上的單調(diào)函數(shù)，從而求解．

解答 解：∵對(duì)任意x₁，x₂∈R，當(dāng)x₁≠x₂，都有f（x₁）≠f（x₂）成立，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，x＞1\\-2x+a，x≤1\end{array}$是R上的單調(diào)函數(shù)，
∴由x＞1和x≤1時(shí)，函數(shù)均為減函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，-2x+a≥$\frac{1}{x}$-1，
即-2+a≥0，
∴a≥2；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)單調(diào)性的判斷及分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題．