Question

已知向量

a

=(sin

ωx

2

，

1

2

)，

b

=(cos

ωx

2

，-

3

2

)，ω＞0，x≥0，函數(shù)f(x)=

a

•

b

的第n（n∈N^*）個零點記作x_n（從小到大依次計數(shù)），所有x_n組成數(shù)列{x_n}．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若ω=2，求數(shù)列{x_n}的前100項和S₁₀₀．

Answer 1

考點：數(shù)列與向量的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角公式，化簡函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）由f（x）=0得sin2x=

3

2

，所以x=kπ+

π

6

或x=kπ+

π

3

，k∈N，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可求數(shù)列{x_n}的前100項和S₁₀₀．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=

1

2

sinωx-

3

4

，ω＞0，x≥0，…（2分）
所以函數(shù)f（x）的值域為[-

1

2

-

3

4

，

1

2

-

3

4

]；…（4分）
（Ⅱ）f(x)=

1

2

sin2x-

3

4

，x≥0，
由f（x）=0得sin2x=

3

2

，所以x=kπ+

π

6

或x=kπ+

π

3

，k∈N，…（6分）
因此S100=

π

2

+(2π+

π

2

)+(4π+

π

2

)+…+(98π+

π

2

)=50×

π

2

+2π(1+2+3+…+49)=2475π．…（10分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查向量的數(shù)量積公式，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．