Question

動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）與到定直線，x=2的距離之比為 

2

2

．
（Ⅰ）求P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F（1，0）的直線l（與x軸不重合）與（Ⅰ）中軌跡交于兩點(diǎn)M、N．探究是否存在一定點(diǎn)E（t，0），使得x軸上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)E、F）到直線EM、EN的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接由題意列等式，化簡后求得點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)E（t，0）滿足題設(shè)條件，并設(shè)出M，N的坐標(biāo)，分MN和x軸垂直和不垂直討論，當(dāng)MN和x軸不垂直時(shí)設(shè)出直線l的方程，和（Ⅰ）中求得的軌跡方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系求得M、N的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合x軸平分∠MEN得到K_ME+K_NE=0，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為含有M、N的橫坐標(biāo)的關(guān)系，代入根與系數(shù)關(guān)系后求得t的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，
化簡得，x²+2y²=2，即

x2

2

+y2=1，即點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若存在點(diǎn)E（t，0）滿足題設(shè)條件．并設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，由橢圓的對稱性可知，x軸上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)E、F）到直線EM、EN的距離相等．
當(dāng)MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
根據(jù)題意，x軸平分∠MEN，則直線ME、NE的傾斜角互補(bǔ)，即K_ME+K_NE=0．
設(shè)E（t，0），則有

y1

x1-t

+

y2

x2-t

=0（當(dāng)x₁=t或x₂=t時(shí)不合題意），
又k≠0，∴

y1

x1-t

+

y2

x2-t

=0，
將y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）代入上式，得

k(x1-1)

x1-t

+

k(x2-1)

x2-t

=0，
又k≠0，∴

x1-1

x1-t

+

x2-1

x2-t

=0，
即

(x1-1)(x2-t)+(x2-1)(x1-t)

(x1-t)(x2-t)

=0，

2x1x2-(1+t)(x1+x2)+2t

(x1-t)(x2-t)

=0，
∴2x₁x₂-（1+t）（x₁+x₂）+2t=0，
將x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

代入上式，解得t=2．
綜上，存在定點(diǎn)E（2，0），使得x軸上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)E、F）到直線EM、EN的距離相等．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，常把直線與圓錐曲線聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決，是高考試卷中的壓軸題．