Question

已知函數(shù)y=-x²+ax-

a

4

+

1

2

在區(qū)間[0，1]上的最大值是g（a）
（1）寫出g（x）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求g（a）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)y=f（x），該函數(shù)為二次函數(shù)，對稱軸為x=

a

2

，討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系：

a

2

≤0，0＜

a

2

＜1，

a

2

≥1，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況求出每種情況下的f（x）的最大值g（a）=

- a 4 + 1 2 a≤0 a2-a+2 4 0＜a＜2 3 4 a- 1 2 a≥2

；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，及二次函數(shù)的最值求出分段函數(shù)g（a）在每段上的最小值從而得出g（a）的最小值．

解答： 解：（1）y=-x2+ax-

a

4

+

1

2

的對稱軸為x=

a

2

，設(shè)y=f（x）；
∴①

a

2

≤0，即a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，∴g（a）=f（0）=-

a

4

+

1

2

；
②0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2時(shí)，g（a）=f（

a

2

）=

a2-a+2

4

；
③

a

2

≥1，即a≥2時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴g（a）=f（1）=

3

4

a-

1

2

；
∴g（a）=

- a 4 + 1 2 a≤0 a2-a+2 4 0＜a＜2 3 4 a- 1 2 a≥2

；
（2）①a≤0時(shí)，-

a

4

+

1

2

在（-∞，0]上單調(diào)遞減；
∴a=0時(shí)，-

a

4

+

1

2

取最小值

1

2

；
②0＜a＜2時(shí)，a=

1

2

時(shí)，

a2-a+2

4

取最小值

7

16

；
③a≥2時(shí)，

3

4

a-

1

2

在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴a=2時(shí)，

3

4

a-

1

2

取最小值1；
∴綜上得，g（a）的最小值為

7

16

．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)的情況求其最值，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求最值，以及分段函數(shù)最小值的求法．