【題目】設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當時,試判斷零點的個數(shù);

(Ⅲ)當時,若對,都有)成立,求的最大值.

【答案】(1)當時,的單減區(qū)間為;當時,的單減區(qū)間為,單增區(qū)間為;(2)兩個;(3)0.

【解析】

1)求出,分兩種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)當時,由(1)可知,是單減函數(shù),在是單增函數(shù),由,,利用零點存在定理可得結(jié)果;(3)當,為整數(shù),且當時,恒成立,,利用導數(shù)求出的取值范圍,從而可得結(jié)果.

(1)

.

時,恒成立,

是單減函數(shù).

時,令,解之得.

從而,當變化時,,的變化情況如下表:

-

0

+

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

由上表中可知,是單減函數(shù),在是單增函數(shù).

綜上,當時,的單減區(qū)間為

時,的單減區(qū)間為,單增區(qū)間為.

(2)當時,由(1)可知,是單減函數(shù),在是單增函數(shù);

,.

,;

有兩個零點.

(3)當,為整數(shù),且當時,恒成立

.

,只需

,

由(2)知,有且僅有一個實數(shù)根

上單減,在上單增;

,

,,

代入式,得

.

為增函數(shù),,

.

,,

即所求的最大值為0.

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