Question

【題目】有一塊以點O為圓心，半徑為2百米的圓形草坪，草坪內(nèi)距離O點 百米的D點有一用于灌溉的水籠頭，現(xiàn)準備過點D修一條筆直小路交草坪圓周于A，B兩點，為了方便居民散步，同時修建小路OA，OB，其中小路的寬度忽略不計．

（1）若要使修建的小路的費用最省，試求小路的最短長度；
（2）若要在△ABO區(qū)域內(nèi)（含邊界）規(guī)劃出一塊圓形的場地用于老年人跳廣場舞，試求這塊圓形廣場的最大面積．（結(jié)果保留根號和π）

Answer 1

【答案】
（1）解：小路的長度l=OA+OB+AB=（400+AB）米，

要使小路的長度最短，只需AB最短即可．

當OD⊥AB時，圓心距d最長為OD，此時AB最短，

（AB）min=2 ×2=200 米，

∴小路的最短長度為（4+2 ）（百米）．

（2）依題意，圓形廣場內(nèi)切于△ABO時，這塊圓形廣場的最大面積．

設(shè)△ABO的內(nèi)切圓半徑為r，

則有 = ，

由弦長公式得AB=2 ， ．

令AB=x，則r2=f（x）= ， ；

∵ ，∴x=AB=2 ．

∴ ，∴ =6﹣4 ．

這塊圓形廣場的最大面積s=πr2=（6﹣4 ）π（百米2）

【解析】（1）先寫出小路長度的函數(shù)解析式，再利用弦長公式可得AB的最小值，進而可得小路的最短長度；（2）先令AB=x，利用已知條件可得r2用含有x的式子表示，再設(shè)r2=f（x），對f（x）求導，判斷f（x）的單調(diào)性，進而可得f（x）的最大值，從而可得這塊圓形廣場的最大面積．