Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，過點P（0，1）且互相垂直的兩條直線分別與
圓O：x2+y2=4交于點A，B，與圓M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于點C，D．

（1）若 ，求CD的長；
（2）若CD中點為E，求△ABE面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線AB的方程為：y=kx+1（k≠0），

∵ ，∴ + =22，

化為：k2=15，

解得k= ．

∴直線CD的方程為：y= x+1．

∴|CD|=2 = ．

（2）①直線AB為y軸時，直線AB的方程為：x=0，直線CD的方程為：y=1．

S△ABE= = =4．

②直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+1，

若k=0，則方程為y=1，經過圓心（2，1），此時△ABE不存在，舍去．

k≠0時，可得直線CD的方程為：y=﹣ x+1．

|AB|=2 =2 ．

聯立 ，化為：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2=0，

△=16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化為：k2＞3．

∴x1+x2= ，可得E ．

∴點E到直線AB的距離d= = ．

∴S△ABE= |AB|d= ×2 × =2 =2 ，

令k2+1=t＞1，可得f（t）= = ∈（0，2）．

∴S△ABE∈（0，4）．

綜上可得：S△ABE∈（0，4]．

【解析】（1）本小題主要利用圓中弦長的一半、圓心到弦的距離及圓的半徑組成的直角三角形并利用勾股定理來解題；（2）本題的難點在于針對直線AB斜率的進行分類，對于直線的斜率可以分為不存在、存在時為0及存在時不為0.