Question

甲乙兩人玩射擊游戲，甲命中目標(biāo)的概率為

2

3

，乙命中目標(biāo)的概率為t，t∈（0，1），規(guī)定：每人擊3次，第一次命中得4分，第二次命中得2分，第三次命中得1分，未命中得0分，甲乙命中與否相互獨立
（1）求甲總得分的期望
（2）求甲命中次數(shù)比乙多，但總分比乙少的概率p（t），并求p（t）的最大值．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知得，甲得分的X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲總得分的期望EX．
（2）甲命中次數(shù)比乙多，但總分比乙少，甲第一次不中，后兩次全中，乙第一次中，后兩次全不中，由此能求出相應(yīng)的概率p（t），并由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出p（t）的最大值．

解答： 解：（1）由已知得，甲得分的X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，
P（X=0）=（

1

3

）³=

1

27

，
P（X=1）=（

1

3

）²×

2

3

=

2

27

，
P（X=2）=

1

3

×

2

3

×

1

3

=

2

27

，
P（X=3）=

1

3

×

2

3

×

2

3

=

4

27

，
P（X=4）=

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

27

，
P（X=5）=

2

3

×

1

3

×

2

3

=

4

27

，
P（X=6）=（

2

3

）²×

1

3

=

4

27

，
P（X=7）=（

2

3

）³=

8

27

，
∴甲總得分的期望EX=0×

4

27

+1×

2

27

+2×

2

27

+3×

4

27

+5×

4

27

+6×

4

27

+7×

8

27

=

118

27

．
（2）∵甲命中次數(shù)比乙多，但總分比乙少，
∴甲第一次不中，后兩次全中，乙第一次中，后兩次全不中，
∴P（t）=

1

3

×(

2

3

)2×t（1-t）²=

4

27

(t3-2t2+t)．
∵t∈（0，1），P（t）=

4

27

(t3-2t2+t)．
∴P′（t）=

4

9

t2-

16

27

t+

4

27

，
由P′（t）=0，得t=

1

3

或t=1（舍），
t∈(0，

1

3

)時，P′（t）＞0，t∈（

1

3

，1）時，P′（t）＜0，
∴t=

1

3

時，[P（t）]_max=P（

1

3

）=

4

27

(

1

27

-

2

9

+

1

3

)=

4

81

．
∴p（t）的最大值為

4

81

．

點評：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率及概率的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．