Question

已知圓M過兩點(diǎn)A（1，-1），B（-1，1），且圓心M在x+y-2=0上．
（1）求圓M的方程；
（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PC、PD是圓M的兩條切線，C、D為切點(diǎn)，求四邊形PCMD面積的最小值．
（3）若（x，y）在圓M上，求x²-2x+y²的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓M過兩點(diǎn)C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上，建立方程組，即可求圓M的方程；
（2）四邊形PAMB的面積為S=

|PM|2-4

，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得結(jié)論；
（3）x²-2x+y²=2+2y，-1≤y≤3，即可求x²-2x+y²的取值范圍．

解答： 解：（1）：線段AB的中點(diǎn)為（0，0），其垂直平分線方程為x-y=0．
解方程組

x-y=0 x+y-2=0.

所以圓M的圓心坐標(biāo)為（1，1）．
故所求圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）由題知，四邊形PCMD的面積為S=S△PMC+S△PMD=

1

2

|CM|•|PC|+

1

2

|DM|•|PD|．
又|CM|=|DM|=2，|PC|=|PD|，
所以S=2|PC|，而|PC|=

|PM|2-|CM|2

=

|PM|2-4

，
即S=

|PM|2-4

．在直線3x+4y+8=0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min=

|3×1+4×1+8|

32+42

=3，所以四邊形PCMD面積的最小值為S=

|PM|2-4

=2

32-4

=2

5

．（3）x²-2x+y²=2+2y，
（3）∵（x-1）²=4-（y-1）²≥0，
∴-1≤y≤3，
∴0≤2+2y≤8，即x²-2x+y²的取值范圍為[0，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．