Question

已知直線y=a與函數(shù)f（x）=x³-3x的圖象有相異的三個交點，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：對函數(shù)f（x）=x³-3x求導數(shù)，得f'（x）=3x²-3
令f'（x）=0，得x=±1，
∵x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0；-1＜x＜1時，f'（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）；減區(qū)間為（-1，1）
由此可得函數(shù)f（x）的極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2
∵直線y=a與函數(shù)f（x）=x³-3x的圖象有相異的三個交點，
∴常數(shù)a應該大于函數(shù)f（x）的極小值且小于函數(shù)f（x）的極大值，
即常數(shù)a取值范圍是（-2，2）．
分析：利用導數(shù)工具研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）的極大值為2，極小值為-2．由此可得若直線y=a與函數(shù)f（x）圖象有相異的三個交點，則常數(shù)a應該大于函數(shù)f（x）的極小值且小于函數(shù)f（x）的極大值，即得a的取值范圍．
點評：本題給出直線y=a與三次多項式函數(shù)的圖象有3個不同交點，求a的取值范圍，著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點與方程根的關系等知識，屬于中檔題．