Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²和g（x）=lnx，作一條平行于y軸的直線，交f（x），g（x）圖象于A，B兩點，則|AB|的最小值為$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 將兩個函數(shù)作差，得到函數(shù)y=f（x）-g（x），再求此函數(shù)的最小值即可得到|AB|最小值．

解答 解：設(shè)函數(shù)y=f（x）-g（x）=x²-lnx，求導(dǎo)數(shù)得
y′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y′＜0，函數(shù)在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y′＞0，函數(shù)在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，所設(shè)函數(shù)的最小值為$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以|AB|最小值為$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．