Question

已知2013年2月10日春節(jié)．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黃瓜進入市場銷售，通過市場調(diào)查，預(yù)測黃瓜的價格f（x）（單位：元/kg）與時間x（x表示距2月10日的天數(shù)，單位：天，x∈（0，8]且x∈N^*）的數(shù)據(jù)如下表：

時間x	8	6	2
價格f（x）	8	4	20

（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述黃瓜價格f（x）與上市時間x的變化關(guān)系：f（x）=
ax+b，f（x）=ax²+bx+c，f（x）=a•b^x，其中a≠0；并求出此函數(shù)；
（Ⅱ）在日常生活中，黃瓜的價格除了與上市日期相關(guān)，與供給量也密不可分．已知供給量h（x）=

1

3

x-

5

18

（x∈N^*）．在供給量的限定下，黃瓜實際價格g（x）=f（x）•h（x）．求黃瓜實際價格g（x）的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，表述黃瓜價格f（x）與上市時間x的變化關(guān)系的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，在a≠0的前提下，可選取二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c進行描述．把表格提供的三對數(shù)據(jù)代入上式解出a，b，c即可；
（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，表述黃瓜價格f（x）與上市時間x的變化關(guān)系的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，這與函數(shù)f（x）=ax+b，f（x）=a•b^x，均具有單調(diào)性不符，
∴在a≠0的前提下，可選取二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c進行描述．
把表格提供的三對數(shù)據(jù)代入上式得到：

64a+8b+c=8 36a+6b+c=4 4a+2b+c=20

，
解得a=1，b=-12，c=40．
∴黃瓜價格f（x）與上市時間x的函數(shù)關(guān)系是f（x）=x²-12x+40．x∈（0，8]．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）•h（x），
∴g(x)=(x2-12x+40)(

1

3

x-

5

18

)=

1

3

x3-

77

18

x2+

300

18

x-

200

18

，
∴g′(x)=x2-

77

9

x+

50

3

．
令g′（x）=0．
∴9x²-77x+150=0，即（x-3）（9x-50）=0
解得x=3或x=

50

9

，
 令g′（x）＞0，則9x²-77x+150＞0，即（x-3）（9x-50）＞0，解得x＞

50

9

或x＜3．
又∵x＞0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，3）和(

50

9

，8]上是增函數(shù)．
同理函數(shù)g（x）在區(qū)間(3，

50

9

)上遞減，
∴g（x）_最小值=g(x)極小值=g(

50

9

)=g(5

5

9

)．
又x∈N^*，且g（6）＜g（5）．
∴g（x）_最小值=g(6)=

62

9

≈6.89，
∴黃瓜價格的最小值約為

62

9

≈6.89元/千克．

點評：本題考查了選擇函數(shù)模型解決實際問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．