【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx,g(x)=x2 . 其中x∈R.
(1)若曲線y=f(x)與y=g(x)在x=1處的切線相互平行,求兩平行直線間的距離;
(2)若f(x)≤g(x)﹣1對(duì)任意x>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)當(dāng)a<0時(shí),對(duì)于函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)+1,記在h(x)圖象上任取兩點(diǎn)A、B連線的斜率為kAB , 若|kAB|≥1,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解: ,依題意得:a=2;

∴曲線y=f(x)在x=1處的切線為2x﹣y﹣2=0,曲線y=g(x)在x=1處的切線方程為2x﹣y﹣1=0.

∴兩直線間的距離為 =


(2)解:令h(x)=f(x)﹣g(x)+1,則

當(dāng)a≤0時(shí),注意到x>0,∴h′(x)<0,∴h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,

又h(1)=0,故0<x<1時(shí),h(x)>0,即f(x)>g(x)﹣1,與題設(shè)矛盾

當(dāng)a>0時(shí),

當(dāng) ,h′(x)>0,當(dāng) 時(shí),h′(x)<0

∴h(x)在(0, )上是增函數(shù),在( ,+∞)上是減函數(shù),

∴h(x)≤

∵h(yuǎn)(1)=0,又當(dāng)a≠2時(shí), 不符.

∴a=2.


(3)解:當(dāng)a<0時(shí),由(2)知h′(x)<0,∴h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),

不妨設(shè)0<x1≤x2,則|h(x1)﹣h(x2)|=h(x1)﹣h(x2),|x1﹣x2|=x2﹣x1,

∴|h(x1)﹣h(x2)|≥|x1﹣x2|等價(jià)于h(x1)﹣h(x2)≥x2﹣x1,即h(x1)+x1≥h(x2)+x2,

令H(x)=h(x)+x=alnx﹣x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),

(x>0),

∴﹣2x2+x+a≤0在x>0時(shí)恒成立,

∴a≤(2x2﹣x)min

又x>0時(shí),(2x2﹣x)min=﹣

∴a≤﹣

又a<0,∴a的取值范圍是


【解析】(1)求導(dǎo)函數(shù),可得切線方程,利用平行線間的距離公式,可求兩平行直線間的距離;(2)令h(x)=f(x)﹣g(x)+1,確定其單調(diào)性,分類討論,即可求實(shí)數(shù)a的值;(Ⅲ)|h(x1)﹣h(x2)|≥|x1﹣x2|等價(jià)于h(x1)﹣h(x2)≥x2﹣x1 , 即h(x1)+x1≥h(x2)+x2 , 構(gòu)造H(x)=h(x)+x=alnx﹣x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),可得﹣2x2+x+a≤0在x>0時(shí)恒成立,分離參數(shù),即可求a的取值范圍..

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(Ⅰ)求某戶居民用電費(fèi)用(單位:元)關(guān)于月用電量(單位:度)的函數(shù)解析式;

(Ⅱ)為了了解居民的用電情況,通過抽樣,獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量,統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖,若這100戶居民中,今年1月份用電費(fèi)用不超過260元的占,求, 的值;

(Ⅲ)在滿足(Ⅱ)的條件下,若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率,且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)代替,記為該居民用戶1月份的用電費(fèi)用,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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X

0

1

2

P

0.1

a

0.4

Y

0

1

2

P

0.2

0.2

b


(1)求a,b的值;
(2)計(jì)算X和Y的期望與方差,并以此分析甲、乙兩射手的技術(shù)情況.

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