Question

已知A（2，-5，1），B（2，-2，4），C（1，-4，1），則向量

AB

與

AC

的夾角等于

π

3

．

Answer 1

分析：利用兩個(gè)向量數(shù)量積公式求出

AB

•

AC

=3，再由兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出

AB

•

AC

=6cosθ，故有3=
6cosθ，解出cosθ 的值，再由0≤θ≤π，可得 θ 的值．

解答：解：

AB

=（2，-2，4）-（2，-5，1）=（0，3，3），

AC

=（1，-4，1）-（2，-5，1）=（-1，1，0），
∴

AB

•

AC

=（0，3，3）•（-1，1，0）=0+3+0=3．
再由|

AB

|=3

2

，|

AC

|=

2

，設(shè)向量

AB

與

AC

的夾角θ，
則有

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosθ=3

2

•

2

 cosθ=6cosθ．
故有3=6cosθ，∴cosθ=

1

2

．
再由 0≤θ≤π，可得 θ=

π

3

．
故答案為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．