Question

如圖K45­7所示，在直棱柱ABCD ­ A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA₁＝3.

(1)證明：AC⊥B₁D；

(2)求直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

解：方法一：(1)證明：因為BB₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB₁.

又AC⊥BD，且BB₁∩BD＝B，所以AC⊥平面BB₁D.

因為B₁D⊂平面BB₁D，所以AC⊥B₁D.

(2)因為B₁C₁∥AD，所以直線B₁C₁與平面ACD₁所成的角等于直線AD與平面ACD₁所成的角(記為θ)．

如圖所示，連接A₁D.

因為棱柱ABCD ­ A₁B₁C₁D₁是直棱柱，且∠B₁A₁D₁＝∠BAD＝90°，

所以A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，所以A₁B₁⊥AD₁.

又AD＝AA₁＝3，所以四邊形ADD₁A₁是正方形，于是A₁D⊥AD₁.又A₁D∩A₁B₁＝A₁，

所以AD₁⊥平面A₁B₁D，于是AD₁⊥B₁D.

由(1)知，AC⊥B₁D，且AD₁∩AC＝A，

所以B₁D⊥平面ACD₁，

故∠ADB₁＝90°－θ.

在直角梯形ABCD中，因為AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，

從而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，

即AB＝＝.

連接AB₁，易知△BB₁D是直角三角形，且B₁D²＝BB＋BD²＝BB＋AB²＋AD²＝21，即B₁D＝，

所以在Rt△AB₁D中，cos∠ADB₁＝＝＝，

即cos(90°－θ)＝，從而可得sin θ＝，

即直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值為.

方法二：(1)證明：易知，AB，AD，AA₁兩兩垂直．如圖所示，以A為坐標原點，AB，AD，AA₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設(shè)AB＝t，則有A(0，0，0)，B(t，0，0)，B₁(t，0，3)，C(t，1，0)，C₁(t，1，3)，D(0，3，0)，D₁(0，3，3)，

令x＝1，則n＝(1，－，)．

設(shè)直線B₁C₁與平面ACD₁所成的角為θ，則

即直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值為.