Question

【題目】如圖，在三棱錐中，已知平面，是邊長為的正三角形，、分別為、的中點.

（1）若，求直線與所成角的余弦值；

（2）若平面平面，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）首先取的中點，連接，以為坐標(biāo)原點，過且與平行的直線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出，的坐標(biāo)，再代入公式計算即可.

（2）首先設(shè)，分別計算平面和平面的法向量，根據(jù)平面平面，法向量的數(shù)量積等于即可得到的長.

（1）取的中點，連接，則.

以為坐標(biāo)原點，過且與平行的直線為軸，為軸，

為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，，.

，.

設(shè)直線，所成角為，

則.

所以直線，所成角的余弦值為.

（2）設(shè)，則，，.

設(shè)平面的法向量，

則，令，.

，，，.

設(shè)平面的法向量，

則，令，.

因為面平面，所以，

即，解得.

所以.