Question

某校要建一個面積為450平方米的矩形球場，要求球場的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個3米的進出口（如圖）．設(shè)矩形的長為x米，鋼筋網(wǎng)的總長度為y米．
（Ⅰ）列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最��？
（Ⅲ）若由于地形限制，該球場的長和寬都不能超過25米，問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最小？

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義,基本不等式

專題：綜合題

分析：第一問較簡單，別忘記寫定義域；第二問用到基本不等式的性質(zhì)注意能否取到“=”；第三問在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時可以用導(dǎo)數(shù)求，也可以用函數(shù)單調(diào)性的定義求解，都能得到y(tǒng)在（0，25]上是單調(diào)遞減函數(shù)；再求出函數(shù)最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵矩形的寬為：

450

x

米，
∴y=2•

450

x

-3+x=

900

x

+x-3 定義域為{x|0＜x＜150}；
（Ⅱ）y=

900

x

+x-3≥2

900 x •x

-3=60-3=57
當且僅當

900 x =x x＞0

即x=30時取等號，此時寬為：

450

x

=15米，
∴長為30米，寬為15米，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最�。�     
（Ⅲ）法一：y=

900

x

+x-3（0＜x≤25），∵y′=-

900

x2

+1=

(x+30)(x-30)

x2

∴當0＜x≤25時，x+30＞0，x-30＜0，x²＞0∴y'＜0∴y在（0，25]上是單調(diào)遞減函數(shù)  
∴當x=25時，ymin=

900

25

+25-3=58，此時，長為25米，寬為

450

x

=18米
所以，長為25米，寬為18米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最�。�  
法二：設(shè)f(x)=

900

x

+x-3(0＜x≤25)，0＜x₁＜x₂≤25，
則 f(x2)-f(x1)=(

900

x2

+x2)-(

900

x1

+x1)=

(x2-x1)(x1x2-900)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂≤25，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-900＜0∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在（0，25]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
∴當x=25時，fmin(x)=f(25)=

900

25

+25-3=58
此時，長為25米，寬為

450

x

=18米
所以，長為25米，寬為18米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最�。�

點評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值；考查運算求解的能力，考查應(yīng)用意識、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．