Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{x_n}滿足x_n+

1

xn+1

＜2（n∈N^*）．
（1）證明：x_n+

1

xn

≥2；
（2）證明：x_n＜x_n+1；
（3）證明：

n-1

n

＜x_n＜

n+1

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）可以利用基本不等式進(jìn)行證明；（2）利用（1）的結(jié)論，通過不等式傳遞，得到本題結(jié)果；（3）可以將原不等式折成兩個(gè)不等式，再利用數(shù)學(xué)歸納法、反證法分別進(jìn)行證明．

解答： 證明：（1）方法一：因?yàn)閤_n＞0，所以xn+

1

xn

≥2

xn× 1 xn

=2，
故xn+

1

xn

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x_n=1時(shí)，等號(hào)成立．
方法二：因?yàn)閤_n＞0，所以xn+

1

xn

-2=(

xn

-

1

xn

)2≥0，
故xn+

1

xn

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x_n=1時(shí)，等號(hào)成立．
（2）由（1）知xn+

1

xn

≥2，又xn+

1

xn+1

＜2，
所以

1

xn

＞

1

xn+1

，所以x_n＜x_n+1．
（3）先證：xn＞

n-1

n

（數(shù)學(xué)歸納法）
當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立； 
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)不等式成立，即xk＞

k-1

k

．
當(dāng)n=k+1時(shí)，由xn+

1

xn+1

＜2得xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2- k-1 k

=

k

k+1

，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立； 
綜上，對(duì)一切n∈N^*都有xn＞

n-1

n

成立．
再證：xn＜

n+1

n

由x_n＞0及xn+

1

xn+1

＜2（n∈N^*），得x_n＜2（n∈N^*），
所以當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，證明xn＜

n+1

n

（反證法）
假設(shè)存在k，使得xk≥

k+1

k

，
則有xk+1＞

1

2-xk

≥

1

2- k+1 k

=

k

k-1

，即xk+1＞

k

k-1

，
所以xk+2＞

k-1

k-2

，xk+3＞

k-2

k-3

，┅，x2k-2＞

3

2

，x_2k-1＞2，
與題設(shè)x2k-1+

1

x2k

＜2矛盾．
所以對(duì)一切n∈N^*都有xn＜

n+1

n

成立．
所以對(duì)一切n∈N^*都有

n-1

n

＜xn＜

n+1

n

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的不等式和數(shù)列的知識(shí)，包括基本不等式、解不等式、數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、反證法，思維量較大，屬于難題．