Question

在公差為d的等差數列{a_n}中，已知a₁=10，且2a₁，2a₂+2，5a₃-1成等比數列．
（1）求d，a_n；     
（2）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|

Answer 1

考點：等比數列的性質,等比數列的前n項和

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）直接由已知條件a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃-1成等比數列列式求出公差，則通項公式a_n可求；
（2）利用（1）中的結論，得到等差數列{a_n}的前3項大于0，后面的項小于0，所以分類討論求d＜0時|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|的和．

解答： 解：（1）由題意得2a₁•（5a₃-1）=（2a₂+2）²，整理得d²-28d-124=0．解得d=32或d=-4．
當d=32時，a_n=a₁+（n-1）d=10+32（n-1）=32n-22．
當d=-4時，a_n=a₁+（n-1）d=10-4（n-1）=-4n+14．
所以a_n=32n-22或a_n=-4n+14；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，因為d＜0，由（1）得d=-4，a_n=-4n+14．
則當n≤3時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=n（-2n+12）．
當n≥4時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-S_n+2S₃=2n²-12n+36．
綜上所述，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

n(-2n+12)，n≤3 2n2-12n+36，n≥4

．

點評：本題考查了等差數列、等比數列的基本概念，考查了等差數列的通項公式，求和公式，考查了分類討論的數學思想方法和學生的運算能力，是中檔題．