Question

在△ABC中，已知

a+b

a

=

sinB

sinB-sinA

，且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．
（1）試確定△ABC的形狀；
（2）求

a+c

b

的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用和差化積公式和二倍角公式對cos2C+cosC=1-cos（A-B）整理求得sinAsinB=sin²C，利用正弦定理換成邊的關(guān)系，同時(shí)利用正弦定理把（b+a）（sinB-sinA）=asinB角的正弦轉(zhuǎn)化成邊的問題，然后聯(lián)立方程求得b²=a²+c²，推斷出三角形為直角三角形．
（2）利用正弦定理化簡所求式子，將C的度數(shù)代入，用A表示出B，整理后利用余弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：（1）由

a+b

a

=

sinB

sinB-sinA

，可得cos2C+cosC=1-cos（A-B）
得cosC+cos（A-B）=1-cos2C，cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
即sinAsinB=sin²C，根據(jù)正弦定理，ab=c²，①，
又由正弦定理及（b+a）（sinB-sinA）=asinB可知b²-a²=ab，②，由①②得b²=a²+c²，
所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（2）由正弦定理化簡

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=sinA+sinC=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
∵

2

2

≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，

π

2

）即1＜

2

sin（A+45°）≤

2

，
則

a+c

b

的取值范圍是（1，

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的形狀的判斷，正弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．