Question

設函數f（x）=x³-m1nx，g（x）=x³-3x+a．
（Ⅰ）當a=0時，f（x）≥g（x）在（1，∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=6時，若函數h（x）=f（x）-g（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數m，使函數f（x）和g（x）在其公共定義域上具有相同的單調性，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=0時，m≤(

x

lnx

)min，由此利用導數性質能求出實數m的取值范圍．
（Ⅱ）m=6時，h（x）=f（x）-g（x）=3x-6lnx-a，h′（x）=3-

6

x

=

3(x-2)

x

，由此利用導數性質能求出實數a的取值范圍．
（Ⅲ）在公共定義域內，g（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，由此利用導數性質能求出存在m，其值為3．

解答： 解：（Ⅰ）當a=0時，∵x＞1，lnx＞0，∴f（x）≥g（x），
∴m≤

x

lnx

，∴m≤(

x

lnx

)min，
令m（x）=

x

lnx

，∴m′(x)=

lnx-1

(lnx)2

，
由m′（x）＞0，得x＞e，由m′（x）＜0，得0＜x＜e．
∴m（x）要（0，e]上單調遞減，在[e，+∞）上單調遞增，
故x=e時，[m（x）]_min=e，∴m≤e．
∴實數m的取值范圍是（-∞，e]．
（Ⅱ）m=6時，h（x）=f（x）-g（x）=3x-6lnx-a，
h′（x）=3-

6

x

=

3(x-2)

x

，
由h′（x）＞0，得x＞2，由h′（x）＜0，得x＜2，
∵1≤x≤3，∴h（x）在[1，2]上遞減，在[2，3]上遞增，
h（1）=3-a，h（2）=6-6ln2-a，h（3）=9-6ln3-a，h（3）＜h（1），
由題意知h（2）＜0，h（3）＞0，
∴6-6ln2＜a≤9-6ln3．
∴實數a的取值范圍是（6-6ln2，9-6ln3]．
（Ⅲ）在公共定義域內，g（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，
故意在m，符合題意，
∴f（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，
故f′（1）=0，
∵f′(x)=3x2-

m

x

，∴由f′（1）=0，得m=3，
經檢驗符合，故存在m，其值為3．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，考查滿足條件的實數是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．