Question

13．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，點（$\frac{1}{2}$a_n，a_n+1+1）在函數(shù)f（x）=2x+3的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且T₁，T_m，T_6m成等比數(shù)列，求正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求數(shù)列的通項；
（2）化簡數(shù)列b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運用裂項相消求和可得T_n=$\frac{n}{2n+1}$，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，解方程可得m=2．

解答 解：（1）點（$\frac{1}{2}$a_n，a_n+1+1）在函數(shù)f（x）=2x+3的圖象上．
即有a_n+1+1=a_n+3，
即為a_n+1=a_n+2，
則數(shù)列{a_n}為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，
即有a_n=2n；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
T₁，T_m，T_6m成等比數(shù)列，
即為$\frac{1}{3}$，$\frac{m}{2m+1}$，$\frac{6m}{12m+1}$成等比數(shù)列，
即有$\frac{1}{3}$•$\frac{6m}{12m+1}$=（$\frac{m}{2m+1}$）²，
化簡可得4m²-7m-2=0，
解得m=2（-$\frac{1}{4}$舍去）．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，同時考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．