【題目】如圖，在直三棱柱中，，且，點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，且滿足.

（1）證明：平面；

（2）若M為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，從而，由，得，再由，能證明平面．
（2）以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

解：（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴

∵，平面，平面，且，

∴平面，（或者由面面垂直的性質(zhì)證明）

又∵平面，∴

∵，∴，

∵，平面，平面，且，

∴平面

（2）以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系﹐

設(shè)，則，，，，，，，

∵，∴，∴

∴，，

設(shè)平面法向量為

，

∴，∴可取

設(shè)平面法向量為

，

∴，∴可取

∴

所以二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知圓：和拋物線：，圓的切線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求；

（2）設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線l與曲線C交于AB兩點(diǎn),P(1,3)，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題尤為突出，某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)：（單位：噸），用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全市市民用用水量分布情況，通過袖樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該市市民月用水量的中位數(shù)；

（2）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

極坐標(biāo)系中， 為極點(diǎn)，半徑為2的圓的圓心坐標(biāo)為.

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合， 軸非負(fù)關(guān)軸與極軸重合，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由直線上的點(diǎn)向圓引切線，求切線長(zhǎng)的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國古代在珠算發(fā)明之前多是用算籌為工具來記數(shù)、列式和計(jì)算的.算籌實(shí)際上是一根根相同長(zhǎng)度的小木棍，如圖，算籌表示數(shù)1～9的方法有兩種，即“縱式”和“橫式”，規(guī)定個(gè)位數(shù)用縱式，十位數(shù)用橫式，百位數(shù)用縱式，千位數(shù)用橫式，萬位數(shù)用縱式……依此類推，交替使用縱橫兩式.例如：27可以表示為“”.如果用算籌表示一個(gè)不含“0”的兩位數(shù)，現(xiàn)有7根小木棍，能表示多少個(gè)不同的兩位數(shù)( )

A.54B.57C.65D.69

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，右準(zhǔn)線方程為x＝4，A，B分別是橢圓C的左，右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)（其中，M在x軸上方）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)線段MN的中點(diǎn)為D，若直線OD的斜率為，求k的值；

（3）記△AFM，△BFN的面積分別為S1，S2，若，求M的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且，平面，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案