Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線與軸交點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線：.的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）見(jiàn)證明

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)曲線的參數(shù)方程，平方相加，即可求得曲線普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式，即可得到直線的直角坐標(biāo)方程．

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為（為參數(shù)），代入曲線的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，即可求解．

（Ⅰ）由題意，可得，

化簡(jiǎn)得曲線：.

直線的極坐標(biāo)方程展開(kāi)為，

故的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）顯然的坐標(biāo)為，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為（為參數(shù)），

代入：得，

所以為定值.