Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓（a＞1）.

（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a、k表示）；

（Ⅱ）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ）先聯(lián)立和，可得，，再利用弦長(zhǎng)公式可得直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)；（Ⅱ）先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，再利用對(duì)稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，

故，．

因此．

（Ⅱ）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足

．

記直線，的斜率分別為，，且，，．

由（Ⅰ）知，，，

故，

所以．

由于，，得，

因此， ①

因?yàn)?/span>①式關(guān)于，的方程有解的充要條件是，

所以．

因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為，

由得，所求離心率的取值范圍為．