Question

【題目】已知函數(shù)，（，且）.

（1）當(dāng)時，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，設(shè) ，是的導(dǎo)函數(shù)，判斷的零點個數(shù)，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）由題意，求導(dǎo)，若k≤0，則g′（x）＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得g（x）最大值，即可求得實數(shù)k的取值范圍；

（2）構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點的判斷，即可求得f'（x）的零點個數(shù)．

詳解: （1）當(dāng)時，對任意，恒成立，

令，求導(dǎo)，

由，則，

若，則，所以在上是增函數(shù)，所以，符合題意，

當(dāng)時，令，解得，，

則在上是減函數(shù)，當(dāng)時，，不符合題意，

綜上可知的取值范圍為.

（2）證明：由題意：，由此可得為一個零點，

令（），則，

的減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，

其中，則，，，

當(dāng)時，，

由零點存在定理及單調(diào)性可知在上存在唯一的零點，

取，則，令，知在上是減函數(shù)，

故當(dāng)時，，即，

由零點存在定理及單調(diào)性可知在上存在唯一，，

由的單調(diào)遞減區(qū)間是，則在上僅存在唯一的零點，

綜上可知共有三個零點.