Question

7．如圖所示，作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓，如此下去，求前n個內(nèi)切圓的面積和．

Answer 1

分析 設(shè)第n個正三角形的內(nèi)切圓的半徑為a_n，可得數(shù)列{a_n}是以$\frac{\sqrt{3}}{6}$a為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，前n個內(nèi)切圓的面積和S_n=π（a₁²+a₂²+…+a_n²）=πa₁²[1+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{4}$）²+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）²]，由等比數(shù)列的求和公式計算可得．

解答 解：設(shè)第n個正三角形的內(nèi)切圓的半徑為a_n，
∵從第二個正三角形開始每一個正三角形的邊長是前一個的$\frac{1}{2}$，
每一個正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前一個正三角形內(nèi)切圓半徑的$\frac{1}{2}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$atan30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，a₂=$\frac{1}{2}$a₁，…a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{\sqrt{3}}{6}$a為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{\sqrt{3}}{6}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$a，
設(shè)前n個內(nèi)切圓的面積和為S_n，
則S_n=π（a₁²+a₂²+…+a_n²）=πa₁²[1+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{4}$）²+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）²]
=πa₁²[1+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{4}$）²+…+（$\frac{1}{4}$）^n-1]=$\frac{4}{3}$×$\frac{{a}^{2}}{12}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）π=$\frac{{a}^{2}}{9}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）π

點評 本題考查等比數(shù)列的求和公式，從實際問題中抽象出等比數(shù)列是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．