Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f[f（x）]=0有且僅有唯一的實(shí)根，則（　　）

• A． c≥0
• B． c≤0
• C． c不確定
• D． 這樣的函數(shù)f（x）不存在

Answer 1

分析 將f（x）配方，求得f（f（x））的解析式，由題意可得y=f（f（x））的圖象與x軸的交點(diǎn)為（-$\frac{2}$，0），即有（c-$\frac{^{2}}{4}$+$\frac{2}$）²+c-$\frac{^{2}}{4}$=0，通過(guò)b的取值，即可判斷c的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+bx+c=（x+$\frac{2}$）²+c-$\frac{^{2}}{4}$，
即有f（f（x））=[（x+$\frac{2}$）²+c-$\frac{^{2}}{4}$+$\frac{2}$]²+c-$\frac{^{2}}{4}$，
由于f[f（x）]=0有且僅有唯一的實(shí)根，
則y=f（f（x））的圖象與x軸的交點(diǎn)為（-$\frac{2}$，0），
即有（c-$\frac{^{2}}{4}$+$\frac{2}$）²+c-$\frac{^{2}}{4}$=0，
若b=0，則c=0或-1（舍去）；
若b=2，則c²+c-1=0，解得c=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
檢驗(yàn)c=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，方程只有一解-1；
c=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$時(shí)，方程有三解，舍去．
綜上可得B，C，D錯(cuò)；A正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查二次方程的根的分布，屬于中檔題．