Question

已知：直線l：x+2y-1=0與⊙C：x²+y²-2x-4y+m=0（m＜5）
（1）若直線l與⊙C相交，求m的取值范圍．
（2）在（1）的條件下，設(shè)直線l與⊙C交于A、B兩點，若OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）先求出圓心和半徑，根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑，可得

|1+4-1|

5

＜

5-m

，由此求得m的取值范圍．
（2）把直線方程和圓的方程聯(lián)立方程組化簡，利用韋達(dá)定理、兩個向量垂直的性質(zhì)，求出m的值．

解答： 解：（1）⊙C：x²+y²-2x-4y+m=0 即 （x-1）²+（y-2）²=5-m，
表示以C（1，2）為圓心、半徑等于

5-m

的圓．
根據(jù)圓心到直線l：x+2y-1=0的距離為d=

|1+4-1|

5

=

4 5

5

＜

5-m

，
解得 m＜

9

5

，故m的取值范圍（-∞，

9

5

）．
（2）由

x+2y-1 x2+y2-2x-4y+m=0

 可得 5y²-4y+m-1=0，∴y₁+y₂=

4

5

，y₁•y₂=

m-1

5

．
再根據(jù)OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=（1-2y₁）（1-2y₂）+y₁•y₂=1+5y₁•y₂-2（y₁+y₂）
=1+5•

m-1

5

-2×

4

5

=0，
解得 m=

8

5

．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用．還考查了韋達(dá)定理、兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．