Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AA₁⊥平面ABC，D、E分別為A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：31，若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）取AB的中點(diǎn)M，根據(jù)AF=

1

4

AB，得到F為AM的中點(diǎn)，又E為AA₁的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得EF∥A₁M，從而在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁DBM為平行四邊形，進(jìn)一步得出EF∥BD．最后根據(jù)線(xiàn)面平行的判定即可證出EF∥平面BC₁D．
（II）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)在棱AC上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：31，再利用棱柱、棱錐的體積公式，求出AG與AC的比值，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答： （I）證明：取AB的中點(diǎn)M，
∵AF=

1

4

AB，∴F為AM的中點(diǎn)，
又∵E為AA₁的中點(diǎn)，∴EF∥A₁M
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分別為A₁B₁，AB的中點(diǎn)，
∴A₁D∥BM，A₁D=BM，
∴A₁DBM為平行四邊形，∴AM∥BD
∴EF∥BD．
∵BD?平面BC₁D，EF?平面BC₁D，
∴EF∥平面BC₁D．
（II）解：設(shè)AC上存在一點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1：31，
則V_E-AFG：V_ABC-A1B1C1=1：32，
∴（

1

3

×

1

2

AF•AGsin∠GAF•AE）：

1

2

AB•ACsin∠CAB•AA₁=

1

24

•

AG

AC

∴

1

24

•

AG

AC

=

1

32

，∴

AG

AC

=

3

4

，
∴AG=

3

4

AC．
∴符合要求的點(diǎn)G存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行，考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用線(xiàn)面平行的判定證明線(xiàn)面平行，屬于中檔題．